Question

已知函數(shù)f(x)=

-x3+x2(x＜1) a•(1+lnx) x (x≥1)

，曲線y=f（x）上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上．如果存在，求出實(shí)數(shù)a的范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在y軸兩側(cè)．設(shè)P（t，f（t），根據(jù)題意，可得

OP

•

OQ

=0，且△POQ斜邊的中點(diǎn)在y軸上，得到Q的坐標(biāo)，將是否存在兩點(diǎn)P，Q滿足題意等價(jià)轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的方程是否有解的問題，再對(duì)t分類討論，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解，即可得到答案．

解答：解：假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題意，則點(diǎn)P、Q只能在y軸兩側(cè)，
∵△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
∴

OP

•

OQ

=0，
不妨設(shè)P（t，f（t））（t＞0），
∵△POQ斜邊的中點(diǎn)在y軸上，
∴Q（-t，t³+t²），且t≠1，
∵

OP

•

OQ

=0，
∴-t²+f（t）（t³+t²）=0，①
題中所問是否存在兩點(diǎn)P，Q滿足題意等價(jià)于方程①是否有解問題．
（1）當(dāng)0＜t＜1，即兩點(diǎn)P，Q都在y=-x³+x²上，
∴f（t）=-t³+t²，
代入方程①，得-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0，
∴t⁴-t²+1=0，
而此方程無實(shí)數(shù)解，
∴不符合題意；
（2）當(dāng)t＞1時(shí)，即P在y=

a(1+lnx)

x

上，Q在y=-x³+x²上，
∴f（t）=

a(1+lnt)

t

，
代入方程①，得-t²+

a(1+lnt)

t

（t³+t²）=0，
∴

1

a

=

(1+t)(1+lnt)

t

，
設(shè)g（x）=

(1+x)(1+lnx)

x

，
∴g′（x）=

[(1+x)(1+lnx)]′•x-(1+x)(1+lnx)

x2

=

x-lnx

x2

，
設(shè)h（x）=x-lnx，
∴h′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

（x＞1），
∴h′（x）=

x-1

x

＞0在（1，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（1）=1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上也單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（1）=2，
∵

1

a

=

(1+t)(1+lnt)

t

，
∴

1

a

＞2，
∴0＜a＜

1

2

，
∴當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，方程

1

a

=

(1+t)(1+lnt)

t

有解，即方程①有解，
∴曲線y=f（x）上總存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上，此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍為0＜a＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．綜合考查了導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大．屬于難題．