Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax，x∈[-1，1]
（1）若函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求g（a）；
（2）判斷并證明函數(shù)g（x）的奇偶性；
（3）若函數(shù)h（x）=g（x）-x-m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用配方法可得f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，x∈[-1，1]，分別討論a＜-1，-1≤a≤1和a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值g（a），綜合討論結(jié)果，可得答案．
（2）根據(jù)（1）中g(shù)（a）的解析式，利用函數(shù)奇偶性的定義，判斷g（-x）與g（x）的關(guān)系，可判斷函數(shù)g（x）的奇偶性；
（3）函數(shù)h（x）=g（x）-x-m有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程h（x）=g（x）-x-m=0有兩個(gè)不等實(shí)根，即方程g（x）=x+m有兩個(gè)不等實(shí)根，即函數(shù)g（x）的圖象與直線y=x+m有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)g（x）的圖象與直線y=x+m，數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，x∈[-1，1]
當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，故g（a）=f_min（x）=f（-1）=1+2a；
當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，g(a)=fmin(x)=f(a)=-a2；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，故g（a）=f_min（x）=f（1）=1-2a
故g(a)=

1+2a，a＜-1 -a2，-1≤a≤1 1-2a，a＞1

…（4分）
（2）由（1）知g(x)=

1+2x，x＜-1 -x2，-1≤x≤1 1-2x，x＞1

，g（x）是偶函數(shù)，證明如下：
g（x）的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱    …（5分）
當(dāng)x＜-1時(shí)，g（x）=1+2x，-x＞1，則g（-x）=1-2（-x）=1+2x=g（x）
當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，g（x）=-x²，-1≤-x≤1，則g（-x）=-（-x）²=-x²=g（x）
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）=1-2x，-x＜-1，則g（-x）=1+2（-x）=1-2x=g（x）
故對(duì)任意x∈R都有g(shù)（-x）=g（x），所以g（x）是偶函數(shù)    …（8分）
（3）函數(shù)h（x）=g（x）-x-m有兩個(gè)零點(diǎn)?方程h（x）=g（x）-x-m=0有兩個(gè)不等實(shí)根?方程g（x）=x+m有兩個(gè)不等實(shí)根?函數(shù)g（x）的圖象與直線y=x+m有兩個(gè)交點(diǎn)
作出函數(shù)g（x）的圖象與直線y=x+m，如圖所示．
當(dāng)拋物線y=-x²與直線y=x+m只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)
由

y=x+m y=-x2

得x²+x+m=0，∴△=1-4m=0⇒m=

1

4

，此時(shí)直線為y=x+

1

4

由圖可知把直線y=x+

1

4

向下平移時(shí)，m的值減少，函數(shù)g（x）的圖象與直線y=x+m有兩個(gè)交點(diǎn)
故m∈(-∞，

1

4

)…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解，解題中的分類討論思想的應(yīng)用的根據(jù)是比較對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系．