Question

甲、乙兩地相距s千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過c千米/時.已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比,比例常數(shù)為b,固定部分為a元.

(1)把全程運輸成本y元表示為速度v(千米/時)的函數(shù),并指出函數(shù)的定義域;

(2)為了使全程運輸成本最少,汽車應(yīng)以多大的速度行駛?

Answer 1

解析:(1)因為汽車每小時的運輸成本為bv²+a(元),全程時間為(小時),故y=(bv²+a),即y=s(+bv),v∈(0,c］.

(2)由于+bv≥,僅當(dāng)v=時取等號,故①若≤c,則當(dāng)v=時,y取最小值.

②若≥c,則先證y=s(+bv),v∈(0,c］為單調(diào)減函數(shù).

事實上,當(dāng)v₁、v₂∈(0,c］,且v₁＜v₂,則y₁-y₂=s［(+bv₁)-(+bv₂)］

=s［(-)+(bv₁-bv₂)］

=s(v₁-v₂)(b-)

=sb(v₁-v₂)·.

∵v₁、v₂∈(0,c］,v₁＜v₂,

∴v₁-v₂＜0,v₁v₂＞0,v₁＜,v₂≤.

進(jìn)而v₁v₂＜,從而y₁-y₂＞0.

故y=s(+bv),v∈(0,c］為單調(diào)減函數(shù),由此知當(dāng)v=c時取得最小值.

綜上可知,若≤c,則當(dāng)v=時,y取最小值;若≥c,則當(dāng)v=c時取得最小值.