(2012•北京)已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)
(1)若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓,求m的取值范圍;
(2)設(shè)m=4,曲線c與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點(diǎn)M、N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G.求證:A,G,N三點(diǎn)共線.
分析:(1)原曲線方程,化為標(biāo)準(zhǔn)方程,利用曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓可得不等式組,即可求得m的取值范圍;
(2)由已知直線代入橢圓方程化簡得:(2k2+1)x2+16kx+24=0,△=32(2k2-3),解得:k2
3
2
,設(shè)N(xN,kxN+4),M(xM,kxM+4),G(xG,1),MB方程為:y=
kxM+6
xM
x-2
,則G(
3xM
kxM+6
,1)
,從而可得
AG
=(
3xM
kxM+6
,-1)
AN
=(xN,kxN+2),欲證A,G,N三點(diǎn)共線,只需證
AG
,
AN
共線,利用韋達(dá)定理,可以證明.
解答:(1)解:原曲線方程可化簡得:
x2
8
5-m
+
y2
8
m-2
=1

由題意,曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓可得:
8
5-m
8
m-2
8
5-m
>0
8
m-2
>0
,解得:
7
2
<m<5

(2)證明:由已知直線代入橢圓方程化簡得:(2k2+1)x2+16kx+24=0,△=32(2k2-3)>0,解得:k2
3
2

由韋達(dá)定理得:xM+xN=-
16k
2k2+1
①,xMxN=
24
2k2+1
,②
設(shè)N(xN,kxN+4),M(xM,kxM+4),G(xG,1),MB方程為:y=
kxM+6
xM
x-2
,則G(
3xM
kxM+6
,1)
,
AG
=(
3xM
kxM+6
,-1)
,
AN
=(xN,kxN+2),
欲證A,G,N三點(diǎn)共線,只需證
AG
AN
共線
3xM
xMk+6
(xNk+2)=-xN
成立,化簡得:(3k+k)xMxN=-6(xM+xN
將①②代入可得等式成立,則A,G,N三點(diǎn)共線得證.
點(diǎn)評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查三點(diǎn)共線,解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解.
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(-4,0)
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1
2
,S2=a3,則a2=
1
1
,Sn=
1
4
n(n+1)
1
4
n(n+1)

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(2012•北京)已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處有公共切線,求a,b的值;
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