設(shè)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函數(shù)f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上的任意兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)x1+x2=1時(shí)，求f（x1）+f（x2）的值；
（2）設(shè)Sn=f（
1
n+1
）+f（
2
n+1
）+…+f（
n-1
n+1
）+f（
n
n+1
），其中n∈N*，求Sn；
（3）對(duì)于（2）中Sn，已知an=（
1
Sn+1
）2，其中n∈N*，設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，求證：
4
9
≤Tn＜
5
3
．
考點(diǎn)：數(shù)列的求和,對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出f（x1）+f（x2）=1+log2
x1x2
(1-x1)(1-x2)
=1+log21=1．
（2）由Sn=f（
1
n+1
）+f（
2
n+1
）+…+f（
n-1
n+1
）+f（
n
n+1
），利用倒序相加求和法得到2Sn=n，由此能求出Sn=
n
2
．
（3）由an=(
1
Sn+1
)2=(
1
n
2
+1
)2=(
2
n+2
)2，知Tn=
4
32
+
4
42
+
4
52
+…+
4
(n+2)2
＜
4
32-1
+
4
42-1
+
4
52-1
+…+
4
(n+2)21
=2（
1
2
-
1
4
+
1
3
-
1
5
+
1
4
-
1
6
+…+
1
n
-
1
n+2
+
1
n+1
-
1
n+3
），由此能證明
4
9
≤Tn＜
5
3
．
解答： （1）解：∵A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函數(shù)f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上的任意兩點(diǎn)．
∴?x1，x2∈（0，1），且x1+x2=1時(shí)，
f（x1）+f（x2）=
1
2
+log2
x1
1-x1
+
1
2
+log2
x2
1-x2

=1+log2
x1x2
(1-x1)(1-x2)

=1+log2
x1x2
1-(x1+x2)+x1x2

=1+log21=1．
（2）解：∵
1
1+n
+
n
1+n
=
2
1+n
+
n-1
1+n
=
3
1+n
+
n-2
1+n
=…=1，
∴f(
1
1+n
)+f(
n
1+n
)=f(
2
1+n
)+f(
n-1
1+n
)=f(
3
1+n
)+f(
n-2
1+n
)=…=1，
∵Sn=f（
1
n+1
）+f（
2
n+1
）+…+f（
n-1
n+1
）+f（
n
n+1
），①
∴Sn=f（
n
n+1
）+f（
n-1
n+1
）+…+f（
2
n+1
）+f（
1
n+1
），②
①+②，得2Sn=[f(
n
1+n
)+f(
n
1+n
)]+[f(
2
1+n
)+f(
n-1
1+n
)]+…+[f(
n
1+n
)+f(
1
1+n
)]，
∴2Sn=n，∴Sn=
n
2
．
（3）證明：∵an=(
1
Sn+1
)2=(
1
n
2
+1
)2=(
2
n+2
)2，
∴Tn=
4
32
+
4
42
+
4
52
+…+
4
(n+2)2
，
∵an＞0，∴Tn＜Tn+1，∴{Tn}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴Tn≥T1=a1=
4
9
，
又∵Tn=
4
32
+
4
42
+
4
52
+…+
4
(n+2)2

＜
4
32-1
+
4
42-1
+
4
52-1
+…+
4
(n+2)21

=
4
2×4
+
4
3×5
+
4
4×6
+…+
4
(n+1)(n+3)

=2（
1
2
-
1
4
+
1
3
-
1
5
+
1
4
-
1
6
+…+
1
n
-
1
n+2
+
1
n+1
-
1
n+3
）
=2（
1
2
+
1
3
-
1
n+2
-
1
n+3
）
=2（
5
6
-
1
n+2
-
1
n+3
）＜
5
3
，
∴
4
9
≤Tn＜
5
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)值的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要注意倒序求和法的合理運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=
x+3
+
1
x+2
的定義域是（　�。�
A、{x|x≠2}
B、{x|x≥-3}
C、{x|x≥-3或x≠-2}
D、{x|x≥-3且x≠-2}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知三角形三內(nèi)角成等差數(shù)列，且其面積為10
3
，周長(zhǎng)為20，求該三角形的三邊長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，且Sn=n2+n，在數(shù)列{bn}中，b1=1，b2=3，且bn+2=4bn+1-4bn．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=bn+1-2bn，求證：數(shù)列{cn}為等比數(shù)列；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求數(shù)列{an•cn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l1的方向向量為
a
=（1，3），且過(guò)點(diǎn)A（-2，3），將直線x-2y-1=0繞著它與x軸的交點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角α（tanα=
1
3
）得到直線l2，直線l3：kx-y-2k+3=0．（k∈R）．
（1）求直線l1和直線l2的方程；
（2）當(dāng)直線l1，l2，l3所圍成的三角形的面積為3時(shí)，求直線l3的方程．

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已知集合A={-1，0，1，2}，若A∪B=A，試寫出所有可能出現(xiàn)的B的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，P是棱CD上一點(diǎn)，AB=2，AD=
2
，AA1=3，CP=3，PD=1．
（1）求直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面積和體積；
（2）求證：PB⊥平面BCC1B1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若方程2x2-px+q=0和方程6x2+（p+2）x+5+q=0有一個(gè)公共根為
1
2
，求p，q的值及方程的另一個(gè)根．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
x2+1
-ax（a∈R）
（1）求證：當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）求a的取值范圍，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞]上是單調(diào)函數(shù)．

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