若AB=2，AC=
2
BC，則S△ABC的最大值
 
．
分析：設(shè)BC=x，根據(jù)面積公式用x和sinB表示出三角形的面積，再根據(jù)余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面積表達式，進而得到關(guān)于x的三角形面積表達式，再根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，根據(jù)x的范圍求出被開方數(shù)中完全平方式為0時的x的值，把求出x的值代入即可得到三角形面積的最大值．
解答：解：設(shè)BC=x，則AC=
2
x，
根據(jù)面積公式得S△ABC=
1
2
AB•BCsinB=
1
2
×2x×
1-cos2B
，
又根據(jù)余弦定理得cosB=
AB2+BC2-AC2
2AB•BC
=
4+x2-(
2
x)2
4x
=
4-x2
4x
，
代入上式得：
S△ABC=x
1-(
4-x2
4x
)2
=
128-(x2-12)2
16
，
由三角形三邊關(guān)系有：
2
x+x＞2
x+2＞
2
x
，
解得：2
2
-2＜x＜2
2
+2．
所以當x=2
3
時，x2-12=0，此時S△ABC取得最大值
128
16
=
8
=2
2
．
故答案為：2
2
點評：本題主要考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應用，當涉及最值問題時，可考慮用函數(shù)的單調(diào)性和定義域等問題，本題的思路為：利用三角形的任兩邊之和大于第三邊列出不等式，求出x的范圍，進而根據(jù)x的范圍求出完全平方式的最小值即為三角形面積的最大值．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直二面角α-l-β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，點B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則CD=（　�。�
A、2
B、
3
C、
2
D、1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

給出下列命題：
①在△ABC中，若A＜B，則sinA＜sinB；
②將函數(shù)數(shù)學公式圖象向右平移數(shù)學公式個單位，得到函數(shù)y=sin2x的圖象；
③在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠ABC=60°，則△ABC必為銳角三角形；
④在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)數(shù)學公式的圖象有三個公共點．
其中真命題是________．（填出所有正確命題的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省江門二中高三（上）11月月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

給出下列命題：
①在△ABC中，若A＜B，則sinA＜sinB；
②將函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)y=sin2x的圖象；
③在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠ABC=60°，則△ABC必為銳角三角形；
④在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)的圖象有三個公共點．
其中真命題是    ．（填出所有正確命題的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年浙江省杭州市宏升高復學校高考數(shù)學一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

給出下列命題：
①在△ABC中，若A＜B，則sinA＜sinB；
②將函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)y=sin2x的圖象；
③在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠ABC=60°，則△ABC必為銳角三角形；
④在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)的圖象有三個公共點．
其中真命題是    ．（填出所有正確命題的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源：陜西省月考題 題型：填空題

給出下列命題：
①在△ABC中，若A＜B，則sinA＜sinB；
②將函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)y=sin2x的圖象；
③在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠ABC=60°，則△ABC必為銳角三角形；
④在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)的圖象有三個公共點．
其中真命題是（    ）（填出所有正確命題的序號）。

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