Question

（本小題滿分12分）已知函數有如下性質：如果常數，那么該函數在上是減函數，在上是增函數。

（Ⅰ）如果函數在上是減函數，在上是增函數，求實數的值；

（Ⅱ）求函數在上的最小值；

（Ⅲ）設常數，求函數的最大值.

 

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）（1）當時，

（2）當時，

（3）當時，

（Ⅲ）當時, 函數的最大值是=2+；當時，函數的最大值是=3；

當時, 函數的最大值是

【解析】

試題分析：（1）若函數在區(qū)間上是增函數，則函數的最小值為，最大值為，若函數在區(qū)間上是減函數，則函數的最小值為，最大值為，（2）若函數在區(qū)間上是增函數，則函數在的無最值，但可以說在上的值域為,（3）利用函數的單調性求函數解析式中參數的取值范圍，是函數單調性的逆向思維，能夠加深對概念性質的理解.

試題解析：（Ⅰ）如果函數在上是減函數，在上是增函數，則，則；

（Ⅱ）在區(qū)間遞減，在遞增，

所以（1）當時，

（2）當時，

（3）當時，

（Ⅲ）∵[1,4], ∴∈[1,2],

=,

當時, 函數的最大值是=2+；

當時，函數的最大值是=3；

當時, 函數的最大值是

考點：函數的單調性及最值.