Question

7．函數(shù)f（x）（x∈R）滿(mǎn)足f（4）=2，$f'（x）＜\frac{1}{3}$，則不等式$f（{x^2}）＜\frac{x^2}{3}+\frac{2}{3}$的解集為（-∞，-2）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x，根據(jù)題意可得函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，然后根據(jù)f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{2}{3}$，可得f（x²）-$\frac{{x}^{2}}{3}$＜f（4）-$\frac{4}{3}$，最后根據(jù)單調(diào)性可求出x的取值范圍

解答 解：設(shè)F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x，則F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{3}$，
∵f′（x）＜$\frac{1}{3}$，∴F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{3}$＜0，
即函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，
而f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{2}{3}$，
即f（x²）-$\frac{{x}^{2}}{3}$＜f（4）-$\frac{4}{3}$，
∴F（x²）＜F（4）而函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，
∴x²＞4即x∈（-∞，-2）∪（2，+∞），
故答案為：（-∞，-2）∪（2，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及利用單調(diào)性解不等式和構(gòu)造法的應(yīng)用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．