Question

已知一個 數(shù)列的各項是1或2，首項為1，且在第k個1和第k+1個1之間有2^k-1個2，如：1，2，1，2，2，1，2，2，2，2，1，2，2，2，2，2，2，2，2，1，…則該數(shù)列前2009項的和S₂₀₀₉=

4007

．

Answer 1

分析：先將數(shù)列分組，便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，如分為（1，2），（1，2，2），（1，2，2，2，2）…，每組的項數(shù)構(gòu)成數(shù)列2，3，5，9…，2^n-1+1，再計算第2009項處于第幾組的第幾個數(shù)，最后數(shù)列分組求和即可

解答：解：此數(shù)列可分若干組（1，2），（1，2，2），（1，2，2，2，2）…，每組的項數(shù)構(gòu)成數(shù)列2，3，5，9…，2^n-1+1
由2+3+5+9+…+2^n-1+1=1+1+2+1+4+1+…+2^n-1+1=n+

1×(2n-1)

2-1

=n+2ⁿ-1≤2009，得n≤10，
故第10組的最后一個2是第1033項，1034項為1，后邊有2¹⁰項2，第975個2是數(shù)列的第2009項
故S₂₀₀₉=11+2（1+2+2²+…+2⁹+975）=4007
故答案為4007

點(diǎn)評：本題考察了觀察法求數(shù)列的通項公式，數(shù)列求和方法等知識，解題時要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，層層深入的解決問題，要有較強(qiáng)的運(yùn)算能力