Question

M=

x2+y2

+

x2+(y-1)2

+

(x-1)2+y2

+

(x-1)2+(y-1)2

，當(dāng)x，y變化時M的最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y），則M=|PA|+|PD|+|PB|+|PC|=（|AP|+|PC|）+（|BP|+|PD|）=（|

AP

|+|

PC

|）+（|

BP

|+|

PD

|），再用不等式|

a

|+|

b

|≥|

a

+

b

|求最小值．

解答： 設(shè)A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y），
則M=|PA|+|PD|+|PB|+|PC|
=（|PA|+|PC|）+（|PB|+|PD|）
=（|AP|+|PC|）+（|BP|+|PD|）
=（|

AP

|+|

PC

|）+（|

BP

|+|

PD

|）
≥|

AP

+

PC

|+|

BP

+

PD

|
=|

AC

|+|

BD

|
而

AC

=（1，1）-（0，0）=（1，1），

BD

=（0，1）-（1，0）=（-1，1）
∴|

AC

|=

12+12

=

2

、|

BD

|=

(-1)2+12

=

2

∴|

AC

|+|

BD

|=

2

+

2

=2

2

，
∴M≥

2

，
當(dāng)

AP

與

PC

同向，

BP

與

PD

同向時取等號，設(shè)

PC

=λ

AP

，

PD

=μ

BP

，
代入坐標(biāo)得1-x=λx，1-y=λy，-x=μx-μ，1-y=μy，解得λ=μ=1，x=y=

1

2

．
所以，當(dāng)x=y=

1

2

時，M的最小值為2

2

．

點評：本題主要考查平面向量的運用，長度可以看做向量的模是解題的關(guān)鍵．