Question

1．設(shè)函數(shù)f₁（x）=x³，f₂（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}，x∈[0，\frac{1}{2}]}\\{lo{g}_{\frac{1}{4}}x，x∈（\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，f₃（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{1-2x}，x∈[0，\frac{1}{2}]}\\{1，x∈（\frac{1}{2}，1]}\end{array}\right.$，f₄（x）=$\frac{1}{4}$|sin（2πx）|，等差數(shù)列{a_n}中，a₁=0，a₂₀₁₅=1，b_n=|f_k（a_n+1）-f_k（a_n）|（k=1，2，3，4），用p_k表示數(shù)列{b_n}的前2014項(xiàng)的和，則（　�。�

• A． P₄＜1=P₁=P₂＜P₃=2
• B． P₁＜1=P₄=P₂＜P₃=2
• C． P₄=1=P₁=P₂＜P₃=2
• D． P₄=1=P₁＜P₂＜P₃=2

Answer 1

分析 根等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出P₁，P₂，P₃，P₄的范圍．，問題得以判斷．

解答 解：等差數(shù)列{a_n}中，a₁=0，a₂₀₁₅=1，可知該數(shù)列為遞增數(shù)列，且a₁₀₀₈=$\frac{1}{2}$，a₅₀₄＜$\frac{1}{4}$，a₅₀₅＞$\frac{1}{4}$，
對于f₁（x）=x³，該函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增，于是有f₁（a_n+1）-f₁（a_n）＞0，
于是b_n=f₁（a_n+1）-f₁（a_n），
∴p₁=f₁（a₂₀₁₅）-f₁（a₁）=1-0=1，
對于f₂（x），該函數(shù)在[0，$\frac{1}{2}$]上遞增，
于是P₂=f₂（a₁₀₀₈）-f₂（a₁）+f₂（a₁₀₀₈）-f₂（a₂₀₀₅）=$\frac{1}{2}$-0+$\frac{1}{2}$-0=1
對于f₃（x），該函數(shù)在[0，$\frac{1}{2}$]上遞減，在（$\frac{1}{2}$，1]上為常數(shù)
類似有P₃=f₃（a₁）-f₃（a₁₀₀₃）=f₃（0）-f₃（$\frac{1}{2}$）=3-1=2
對于f₄（x），該函數(shù)在[0，$\frac{1}{4}$]和[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]遞增，在[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]和[$\frac{3}{4}$，1]上遞減，且是以$\frac{1}{2}$為周期的周期函數(shù)，
故只需討論[0，$\frac{1}{2}$]的情況，再2倍即可
仿前可知，P₄=2[f₄（a₅₀₄）-f₄（a₁）+f₄（a₅₀₅）-f₄（a₁₀₀₈）]＜2（$\frac{1}{4}$sin$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{4}$sin0+$\frac{1}{4}$sin$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{4}$sinπ）=1
故P₄＜1，
綜上所述P₄＜1=P₁=P₂＜P₃=2，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，絕對值的性質(zhì)，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，屬于難題．