Question

【題目】某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關(guān)系式為大于0的常數(shù)).按照某項(xiàng)指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測(cè)得數(shù)據(jù)如下:

尺寸	38	48	58	68	78	88
質(zhì)量	16.8	18.8	20.7	22.4	24	25.5
質(zhì)量與尺寸的比	0.442	0.392	0.367	0.329	0.308	0.290

(I)現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，記為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機(jī)變量的分布列和期望;

(II)根據(jù)測(cè)得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表:

75.3	24.6	18.3	101.4

(i)根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量，求關(guān)于的回歸方程;

(ii)已知優(yōu)等品的收益(單位:千元)與的關(guān)系為，則當(dāng)優(yōu)等品的尺寸為何值時(shí)，收益的預(yù)報(bào)值最大? (精確到0.1)

附:對(duì)于樣本， 其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）(i)，(ii)

【解析】分析：（1）要求隨機(jī)變量的分布列，應(yīng)先確定抽取的6件合格產(chǎn)品中，優(yōu)等品的件數(shù)，應(yīng)確定區(qū)間的大致范圍，即。進(jìn)而由抽取6件合格產(chǎn)品的測(cè)得數(shù)據(jù)可得有3件為優(yōu)等品，3件為非優(yōu)等品。所以取到優(yōu)等品的件數(shù)，進(jìn)而求這四種取值時(shí)的概率，進(jìn)而可得分布列。用期望公式即可求得期望。（2）(i)因?yàn)?/span>中的與之間不是直線性回歸關(guān)系，故兩邊取對(duì)數(shù)可得，換元令，得且，根據(jù)題中所給的表中數(shù)據(jù)可求出

進(jìn)而可求得求得

所求關(guān)于的回歸方程為。(ii)要求當(dāng)優(yōu)等品的尺寸為何值時(shí)，收益的預(yù)報(bào)值最大。應(yīng)用來表示收益。故將代入可得。

可令，則可變?yōu)?/span>，這個(gè)是關(guān)于的二次函數(shù)，要求其最大值，應(yīng)先求自變量的取值范圍。由優(yōu)等品質(zhì)量與尺寸的比可求得，進(jìn)而可得，即。將配方可得 。由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，取最大值。進(jìn)而可求當(dāng)優(yōu)等品的尺寸，收益的預(yù)報(bào)值最大。

詳解：（1）解：由已知，優(yōu)等品的質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)，即

則隨機(jī)抽取的6件合格產(chǎn)品中，有3件為優(yōu)等品，3件為非優(yōu)等品

現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，則取到優(yōu)等品的件數(shù)

的分布列為

	0	1	2	3

（2）解：(i)對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得，

令得且

根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量及最小乘估計(jì)公式有，

得得

所求關(guān)于的回歸方程為可知，

（ii)由（i)，，則

由優(yōu)等品質(zhì)量與尺寸的比即

令

當(dāng)時(shí)，取最大值

即優(yōu)等品的尺寸，收益的預(yù)報(bào)值最大.