Question

設(shè)數(shù)列a₁，a₂，…，a_n，…中的每一項(xiàng)都不為0，證明，{a_n}為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何n∈N₊都有。

Answer 1

證明：先證必要性：
設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，若d=0，則所述等式顯然成立；
若d≠0，
則


；
再證充分性：(數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)所述的等式對(duì)一切n∈N₊都成立，
首先，在等式，①
兩端同乘a₁a₂a₃，即得a₁+a₃=2a₂，所以a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，
記公差為d，則a₂=a₁+d，
假設(shè)a_k=a₁+(k-1)d，當(dāng)n=k+1時(shí)，觀察如下二等式
，②
，③
將②代入③，得，
在該式兩端同乘a₁a_ka_k+1，得(k-1)，
將a_k=a₁+(k-1)d代入其中，整理，得a_k+1=a₁+kd，
由數(shù)學(xué)歸納法原理知，對(duì)一切n∈N₊，都有a_n=a₁+(n-1)d，所以{a_n}是公差為d的等差數(shù)列．