Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正弦,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）．從而可求單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由函數(shù)的圖象可知，f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

8

]上單調(diào)遞增，在[

3π

8

，

3π

4

]單調(diào)遞減，當(dāng)x=

3π

8

時(shí)取最大值

2

，當(dāng)x=

3π

4

時(shí)，取最小值-1．

解答： 解：（1）f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1=2sinxcosx-2cos²x+1=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：

[kπ- π 8 ，kπ+ 3π 8 ](k∈Z)

．
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：

[kπ+ 3π 8 ，kπ+ 7π 8 ](k∈Z)

．
由函數(shù)的圖象可知，f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

8

]上單調(diào)遞增，在[

3π

8

，

3π

4

]單調(diào)遞減，
當(dāng)x=

3π

8

時(shí)取最大值

2

，當(dāng)x=

3π

4

時(shí)，取最小值-1，
故

2

sin(2x-

π

4

)∈(-1，

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察二倍角的正弦和復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．