Question

11．隨機調查某社區(qū)80個人，以研究這一社區(qū)居民的休閑方式是否與性別有關，得到下面的數據表：

休閑方式 性別	看電視	運動	合計
男性	20	10	30
女性	45	5	50
合計	65	15	80

（1）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調查3名在該社區(qū)的男性，設調查的3人是以運動為休閑方式的人數為隨機變量X，求X的分布列和期望；
（2）根據以上數據，能否有99%的把握認為休閑方式與性別有關系？

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$），其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）由 題 意 知隨機變量X的可能取值，根據題意得X～B（3，$\frac{1}{3}$），計算對應的概率值，寫出X的分布列，計算數學期望值；
（2）計算K²，對照臨界值表得出結論．

解答 解：（1）由 題 意 可 知，隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，
且 每 個 男 性 以 運 動 為 休 閑 方 式 的 概 率 為 P=$\frac{10}{30}$=$\frac{1}{3}$，
根 據 題 意 可 得 X～B（ 3，$\frac{1}{3}$），
∴P（ X=k）=${C}_{3}^{k}$•${（\frac{2}{3}）}^{3-k}$•${（\frac{1}{3}）}^{k}$，k=0，1，2，3，
故 X 的 分 布 列 為

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{1}{27}$

數學期望為E（ X）=3×$\frac{1}{3}$=1；
（2）計算K²=$\frac{{n（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{80{×（20×5-45×10）}^{2}}{30×50×65×15}$=$\frac{784}{117}$≈6.70，
因 為 6.700＞6.635，
所 以 我 們 有 99%的 把 握 認 為 休 閑 方 式 與 性 別 有 關．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，也考查了獨立性檢驗的應用問題，是中檔題．