【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3x.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)x=2處的切線方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)A(1,m)(m≠﹣2)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:f'(x)=3x2﹣3,f'(2)=9,f(2)=23﹣3×2=2
∴曲線y=f(x)在x=2處的切線方程為y﹣2=9(x﹣2),即9x﹣y﹣16=0
(2)解:過(guò)點(diǎn)A(1,m)向曲線y=f(x)作切線,設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0)
則y0=x03﹣3x0,k=f'(x0)=3x02﹣3.
則切線方程為y﹣(x03﹣3x0)=(3x02﹣3)(x﹣x0)
將A(1,m)代入上式,整理得2x03﹣3x02+m+3=0.
∵過(guò)點(diǎn)A(1,m)(m≠﹣2)可作曲線y=f(x)的三條切線
∴方程2x3﹣3x2+m+3=0(*)有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根、
記g(x)=2x3﹣3x2+m+3,g'(x)=6x2﹣6x=6x(x﹣1)、
令g'(x)=0,x=0或1
則x,g'(x),g(x)的變化情況如下表
x | (﹣∞,0) | 0 | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
g'(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
g(x) | 遞增 | 極大 | 遞減 | 極小 | 遞增 |
當(dāng)x=0,g(x)有極大值m+3;x=1,g(x)有極小值m+2
由題意有,當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí),
函數(shù)g(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)、
此時(shí)過(guò)點(diǎn)A可作曲線y=f(x)的三條不同切線.故m的范圍是(﹣3,﹣2)
【解析】(1)先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x2﹣3,欲求出切線方程,只須求出其斜率即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問(wèn)題解決.(2)先將過(guò)點(diǎn)A(1,m)(m≠﹣2)可作曲線y=f(x)的三條切線轉(zhuǎn)化為:方程2x3﹣3x2+m+3=0(*)有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根,記g(x)=2x3﹣3x2+m+3,g'(x)=6x2﹣6x=6x(x﹣1),下面利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的零點(diǎn),從而求得m的范圍.
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【題目】如圖所示,四棱錐的底面是梯形,且, 平面, 是中點(diǎn), .
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若, ,求直線與平面所成角的大小.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形,側(cè)面PAD丄底面ABCD,∠APD= . (I )求證:平面PAB丄平面PCD;
(II)如果AB=BC,PB=PC,求二面角B﹣PC﹣D的余弦值.
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【題目】已知P為橢圓 =1上的一個(gè)點(diǎn),M,N分別為圓(x+3)2+y2=1和圓(x﹣3)2+y2=4上的點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值為 .
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【題目】已知橢圓的離心率為,點(diǎn), , 分別為橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線: 被圓: 所截得的弦長(zhǎng)為,若直線與橢圓交于, 兩點(diǎn),求面積的最大值.
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【題目】某研究小組為了研究某品牌智能手機(jī)在正常使用情況下的電池供電時(shí)間,分別從該品牌手機(jī)的甲、乙兩種型號(hào)中各選取部進(jìn)行測(cè)試,其結(jié)果如下:
甲種手機(jī)供電時(shí)間(小時(shí)) | ||||||
乙種手機(jī)供電時(shí)間(小時(shí)) |
(1)求甲、乙兩種手機(jī)供電時(shí)間的平均值與方差,并判斷哪種手機(jī)電池質(zhì)量好;
(2)為了進(jìn)一步研究乙種手機(jī)的電池性能,從上述部乙種手機(jī)中隨機(jī)抽取部,記所抽部手機(jī)供電時(shí)間不小于小時(shí)的個(gè)數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】有4個(gè)不同的小球,4個(gè)不同的盒子,現(xiàn)要把球全部放進(jìn)盒子內(nèi).
(1)恰有1個(gè)盒子不放球,共有多少種方法?
(2)恰有2個(gè)盒子不放球,共有多少種方法?
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【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,E是BC的中點(diǎn).
(1)求證:平面AB1E⊥平面B1BCC1;
(2)求證:平面AB1E.
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【題目】經(jīng)研究,城市公交車的數(shù)量太多容易造成資源浪費(fèi),太少又難以滿足乘客需求.為此,某市公交公司從某站占的40名候車乘客中隨機(jī)抽取15人,將他們的候車時(shí)間(單位: )作為樣本分成5組如下表:
組別 | 侯車時(shí)間 | 人數(shù) |
一 | 2 | |
二 | 6 | |
三 | 2 | |
四 | 2 | |
五 | 3 |
(1)估計(jì)這40名乘客中侯車時(shí)間不少于20分鐘的人數(shù);
(2)若從上表侯車時(shí)間不少于10分鐘的7人中選2人作進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查,求抽到的兩人侯車時(shí)間都不少于20分鐘的概率.
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