Question

已知函數(shù)f（x）=ax-1nx，若f（x）＞1在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)a的范圍為

a≥1

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，將不等式f（x）＞1轉(zhuǎn)化為a＞

1nx-1

x

，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立．令F（x）=

1nx-1

x

，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)F（x）的單調(diào)性與極值，即可求出滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=ax-1nx，
∴f（x）＞1即ax-1nx＞1，得ax＞1nx-1
∵x＞1，∴原不等式轉(zhuǎn)化為a＞

1nx-1

x

設(shè)F（x）=

1nx-1

x

，得F'（x）=

1-(lnx-1)

x2

=

-lnx

x2

∵當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0
∴F（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)；在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)
可得F（x）在（0，+∞）的極大值為F（1），也是函數(shù)在（0，+∞）的最大值
∵a＞

1nx-1

x

在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，
∴a≥F（1），即a≥1，可得實(shí)數(shù)a的范圍為[1，+∞）
故答案為：[1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有對(duì)數(shù)和分母的不等式恒成立，求參數(shù)a的取值范圍．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值和不等式恒成立的處理等知識(shí)，屬于中檔題．