Question

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+?)+B(A＞0，0＜ω＜2，|?|＜

π

2

)的一系列對應(yīng)值如下表：

x	- π 6	π 3	5π 6	4π 3	11π 6	7π 3	17π 6
y	-1	1	3	1	-1	1	3

（Ⅰ）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求當(dāng)x∈[0，

π

3

]時，y=f（3x）的值域．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)相鄰兩個最大值點的距離得到函數(shù)的周期，再用周期公式得到ω=1，利用一組相鄰的最大、最小值聯(lián)列方程組解出A、B的值，再根據(jù)一個特殊的對應(yīng)值列式解出φ值，從而得到函數(shù)y=f（x）的解析式；
（II）根據(jù)x的范圍得到3x的范圍，從而有sin(3x-

π

3

)的最小值為-

3

2

，最大值為1，得到y(tǒng)=f（3x）的值域．

解答：解：（I）依題意，函數(shù)最大值為3且相鄰兩個最大值點的差為

17π

6

-

5π

6

=2π
∴T=

2π

ω

=2π，得ω=1
又∵

B+A=3 B-A=-1

⇒

A=2 B=1

∴f(

5π

6

)=2sin(

5π

6

+?)+1=3，結(jié)合|?|＜

π

2

，得?=-

π

3

∴函數(shù)y=f（x）的解析式是 f(x)=2sin(x-

π

3

)+1；
（II）∵x∈[0，

π

3

]，
∴3x-

π

3

∈[-

π

3

，

2

3

π]，得sin(3x-

π

3

)的最小值為-

3

2

，最大值為1
∴y=f（3x）的值域為[-

3

+1，3]

點評：本題根據(jù)三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）上的部分圖象，得到函數(shù)解析式，并求y=f（3x）當(dāng)x∈[0，

π

3

]時的值域．著重考查了三角函數(shù)圖象變換、解析式的求法和復(fù)合三角函數(shù)的值域等知識，屬于基礎(chǔ)題．