Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx
（I）當a=1時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）當a＞0時，求f（x）在[1，e]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后判斷原函數(shù)在定義域內(nèi)不同區(qū)間上的單調(diào)性，求出極小值點，得到極小值，從而求得最小值；
（Ⅱ）利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后通過對a的取值范圍討論得到函數(shù)f（x）在[1，e]上的單調(diào)情況，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e）上的極值與端點處的函數(shù)值的大小比較求得f（x）在[1，e]上的最大值與最小值．

解答：解：（I）當a=1時，f（x）=x-lnx（x＞0），
f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

．
當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以當x=1時f（x）取得極小值，也是最小值為f（1）=1．
（II）由f（x）=ax-lnx（x＞0）．
則f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．
由f′（x）＞0，得x＞

1

a

，由f′（x）＜0，得0＜x＜

1

a

．
所以f（x）在(0，

1

a

)上為減函數(shù)，在(

1

a

，+∞)上為增函數(shù)．
當0＜a≤

1

e

時，f_min=f（e）=ae-1，

f

max

=f(1)=a．
當

1

e

＜a≤

1

e-1

時，fmin=f(

1

a

)=1+lna，

f

max

=f(1)=a．
當

1

e-1

＜a＜1時，fmin=f(

1

a

)=1+lna，

f

max

=f(e)=ae-1．
當a≥1時，f_min=f（1）=a，

f

max

=f(e)=ae-1．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論得數(shù)學(xué)思想方法，正確的分類是解答該題的關(guān)鍵，此題屬中檔題．