Question

已知函數(shù)f（x）=∫0x（2t+2）dt+alnx
（1）當a=-4時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）當t≥1時，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)恒成立問題,定積分

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求定積分可得f（x）=x²+2x+alnx，當a=-4時，f（x）=x²+2x-4lnx（x＞0），求導數(shù)判單調性可得最值；
（2）問題轉化為a[ln（2t-1）-lnt²]≥2[（2t-1）-t²]恒成立，當t=1時，不等式顯然成立；當t＞1時，可得a≤

2[(2t-1)2-t2]

ln(2t-1)-lnt2

恒成立，令u=

2[(2t-1)2-t2]

ln(2t-1)-lnt2

（t＞1），導數(shù)法求u的最小值結合k_AB可得．

解答： 解：（1）∵f（x）=∫0x（2t+2）dt+alnx
=2t²+2t

|

x 0

+alnx=x²+2x+alnx，
當a=-4時，f（x）=x²+2x-4lnx（x＞0），
∴f′（x）=2x+2-

4

x

=

2(x-1)(x+2)

x

，
當x＞1時，f′（x）＞0，當0＜x＜1時，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上單調減，在（1，+∞）上單調增，
∴函數(shù)f（x）的最小值f（x）_min=f（1）=3
（2）不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立即（2t-1）²+2（2t-1）+aln（2t-1）≥2t²+4t+2alnt-3恒成立，
即a[ln（2t-1）-2lnt]≥-2t²+4t-2恒成立，即a[ln（2t-1）-lnt²]≥2[（2t-1）-t²]恒成立，
當t=1時，不等式顯然成立；
當t＞1時，可得a≤

2[(2t-1)2-t2]

ln(2t-1)-lnt2

恒成立，
令u=

2[(2t-1)2-t2]

ln(2t-1)-lnt2

（t＞1），即求u的最小值，
設A（t²，lnt²），B（2t-1，ln（2t-1）），則k_AB=

ln(2t-1)-lnt2

(2t-1)-t2

，
且A、B兩點在y=lnx的圖象上，又∵t²＞1，2t-1＞1，故0＜k_AB＜y′|_x=1=1
∴u=2•

1

k

，故a≤2，即實數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]

點評：本題考查導數(shù)的綜合應用，涉及定積分和函數(shù)恒成立，屬中檔題．