Question

已知函數f（x）=

2x

x+1

與函數y=g（x）的圖象關于直線x=2對稱，
（1）求g（x）的表達式；
（2）若Φ（x+2）=

1

Φ(x)

，當x∈（-2，0）時，Φ（x）=g（x），求Φ（2005）的值．

Answer 1

考點：函數的圖象與圖象變化,函數解析式的求解及常用方法,函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數的對稱性即可求g（x）的表達式；
（2）根據條件判斷函數Φ（x）是周期為4的周期函數，利用函數的周期性進行求值即可．

解答： 解：（1）設P（x，y）是g（x）上的任意一點，P關于x=2對稱的點的坐標為（x′，y′），
則

x+x′ 2 =2 y=y′

，即

x′=4-x y′=y

，
∵y′=f（x′）=

2x′

x′+1

，
∴y=

2(4-x)

4-x+1

=

8-2x

5-x

=

2x-8

x-5

，
故g(x)=

2x-8

x-5

(x≠5)．
（2）∵Φ（x+2）=

1

Φ(x)

，
∴Φ（x+4）=

1

Φ(x+2)

=Φ（x），
即Φ（x）是周期為4的周期函數，
則Φ（2005）=Φ（2004+1）=Φ（1）=Φ（-3）=

1

Φ(-3+2)

=

1

Φ(-1)

=

1

g(-1)

=

1

-2-8 -1-5

=

6

10

=

3

5

，
故Φ(2005)=

3

5

．

點評：本題主要考查函數解析式的求解以及函數值的計算，利用函數對稱性是解決本題的關鍵．根據條件判斷函數的周期性是求值的突破．