Question

如圖，設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過準(zhǔn)線l上一點M（-1，0）且斜率為k的直線l₁交拋物線C于A，B兩點，線段AB的中點為P，直線PF交拋物線C于D，E兩點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若|MA|•|MB|=λ|FD|•|FE|，試寫出λ關(guān)于k的函數(shù)解析式，并求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可得，可求p，進而可求拋物線方程
（Ⅱ）設(shè)l₁方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），
由整理可得關(guān)于y的方程，結(jié)合△=16-16k²＞0，可求k的范圍，然后結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求y₁+y₂，y₁y₂，代入可求x₁+x₂，x₁x₂及P，從而可求|MA||MB|及直線PF的方程，由得關(guān)于y的方程，同理可求y₃+y₄，y₃y₄，代入直線方程得x₃+x₄，x₃x₄，可求|FD||FE|，由題設(shè)建立等式，則可以由k表示λ，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求λ的范圍
解答：解：（Ⅰ），拋物線方程為y²=4x．   …（4分）

（Ⅱ）設(shè)l₁方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），
由得ky²-4y+4k=0，△=16-16k²＞0，所以k∈（-1，0）∪（0，1），
，
代入方程得：，…（6分）
所以，…（8分）
且直線，
由得ky²-4（1-k²）y-4k=0，
則得，
代入直線方程得，
所以，…（10分）
則，…（12分）
令t=k²+1，則t∈（1，2）
而在（1，）單調(diào)遞增，在（）單調(diào)遞減
所以                 …（14分）
點評：本題主要考查 了利用拋物線的性質(zhì)求解拋物線的方程及直線與拋物線相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用是求解問題的關(guān)鍵