Question

已知函數(shù).
（1）設(shè)，試討論單調(diào)性；
（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若，存在，使，求實(shí)數(shù)的
取值范圍.

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)；（2）.

試題分析：（1）先求出的導(dǎo)數(shù)，，然后在的范圍內(nèi)討論的大小以確定和的解集；（2）時(shí)，代入結(jié)合上問(wèn)可知函數(shù)在在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，即在取最小值，若，存在，使，即存在使得.從而得出實(shí)數(shù)的取值范圍.注意不能用基本不等式，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022725148487.png" style="vertical-align:middle;" />等號(hào)取不到，實(shí)際上為減函數(shù).所以其值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022725179576.png" style="vertical-align:middle;" />，從而，即有.
試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022724508535.png" style="vertical-align:middle;" />，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240227241811103.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
令，可得，，              2分
①當(dāng)時(shí)，由可得，故此時(shí)函數(shù)在上是增函數(shù).
同樣可得在和上是減函數(shù).               4分
②當(dāng)時(shí)，恒成立，故此時(shí)函數(shù)在上是減函數(shù).            6分
③當(dāng)時(shí)，由可得，故此時(shí)函數(shù)在上是增函數(shù)，
在和上是減函數(shù)；              8分
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
所以對(duì)任意的，有，
由條件存在，使，所以，              12分
即存在，使得，
即在時(shí)有解,
亦即在時(shí)有解,
由于為減函數(shù)，故其值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022725179576.png" style="vertical-align:middle;" />，
從而，即有，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.              16分