Question

已知雙曲線E：

x2

m

-

y2

12

=1的離心率為2，過點P（0，-2）的直線l與雙曲線E交于不同的兩點M，N．
（I）當(dāng)

PM

=2

PN

求直線l的方程；
（II）設(shè)t=

OM

•

OP

+

OM

•

PN

（O為坐標(biāo)原點），求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)知a²=m，b²=12，c²=m+12，e2=

c2

a2

=

m+12

m

=4，由此得到雙曲線E的方程為

x2

4

-

y2

12

=1，設(shè)直線l的方程為：y=kx-2，點M（x₁，kx₁-2），N（x₂，kx₂-2），再由根的判別式和韋達定理，結(jié)合題設(shè)條件能求出直線l的方程．
（II）t=

OM

•

OP

+

OM

•

PN

=

OM

•

ON

=12+

40

k2-3

，再由0≤k²＜4，且k²≠3，能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（I）∵雙曲線E：

x2

m

-

y2

12

=1的離心率為2，
∴a²=m，b²=12，c²=m+12，e2=

c2

a2

=

m+12

m

=4，
∴m=4，雙曲線E的方程為

x2

4

-

y2

12

=1，
當(dāng)直線l與x軸垂直時，直線l與雙曲線沒有交點，
設(shè)直線l的方程為：y=kx-2，
點M（x₁，kx₁-2），N（x₂，kx₂-2），
當(dāng)

PM

=2

PN

時，x₁=2x₂，

x1+x2=3x2 x1x2=2x22

，
∴x1x2=2(

x1+x2

3

)2，①
y=kx-2代入

x2

4

-

y2

12

=1，得：（3-k²）x²+4kx-16=0，
3-k²≠0，且△=16k²-4（3-k²）（-16）＞0，
即-2＜k＜2，且k≠±

3

，
∵

x1+x2= 4k k2-3 x1x2= 16 k2-3

，
代入①得9×

16

k2-3

=2（

4k

k2-3

）²，解得k=±

3 21

7

，
滿足△＞0，所以直線l的方程為y=±

3 21

7

x-2．
（II）t=

OM

•

OP

+

OM

•

PN

=

OM

(

OP

+

PN

)=

OM

•

ON

=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4
=(k2+1)•

16

k2-3

-2k•

4k

k2-3

+4
=12+

40

k2-3

，
∵0≤k²＜4，且k²≠3，
∴

40

k2-3

＞40，或

40

k2-3

≤-

40

3

，
∴t＞52，或t≤-20．

點評：本題考查直線方程的求法和求實數(shù)的取值范圍，具體涉及到雙曲線的簡單性質(zhì)、向量知識、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系等基本知識點，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．