【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx(a∈R).

(1)若x=是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值;

(2)當(dāng)a>0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(3)當(dāng)a>2且x>1時(shí),求證:函數(shù)f(x)的最小值小于﹣3.

【答案】(1);(2)詳見(jiàn)解析;(3)詳見(jiàn)解析.

【解析】

(1)利用極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0可得;

(2)求導(dǎo)后,對(duì)導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)的大小進(jìn)行討論;

(3)由(2)知fx)的最小值為gaa+aln,(a>2),再通過(guò)兩次求導(dǎo)可以證明.

(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:

依題意有,即,解得:;

(2)∵,

∴當(dāng),即時(shí),由,得;由,得,

上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.

當(dāng),即時(shí),上恒成立,故上單調(diào)遞增,

當(dāng),即時(shí),由,得;由,得

,上遞增,在上遞減.

(3)當(dāng),且時(shí),由(2)知函數(shù)上遞減,在上遞增,

所以時(shí), ,

,

上恒成立,

所以上是減函數(shù),所以,

所以上是減函數(shù),所以

即函數(shù)的最小值小于-3.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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2)在平面內(nèi)存在直線與垂直

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