如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面所成的角為60°,AB=BC,A1A=A1C=2,AB⊥BC,側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC.
(1)證明:A1B⊥A1C1;
(2)求二面角A-CC1-B的大。
(3)求經(jīng)過(guò)A1、A、B、C四點(diǎn)的球的表面積.

解:取AC中點(diǎn)為O,由A1A=A1C,AB=BC,知A1O⊥AC,BO⊥AC,
又平面AA1C1C⊥平面ABC,所以A1O⊥OB.
建立如圖所示的坐標(biāo)系O-xyz,則A(0,-1,0),B(1,0,0),
A1(0,0,),C(0,1,0).
(1)∵=(1,0,-),==(0,2,0)
=0
∴A1B⊥A1C1
(2)設(shè)=(x,y,z)為面BCC1的一個(gè)法向量.
=(-1,1,0),==(0,1,
==0,
取n=(,,-1).
=(1,0,0)是面ACC1的法向量,
∴cos<,>===
由點(diǎn)B在平面ACC1內(nèi)的射影O在二面角的面ACC1內(nèi),知二面角A-CC1-B為銳角,
∴二面角A-CC1-B的大小為arccos
(3)設(shè)球心為O1,因?yàn)镺是△ABC的外心,A1O⊥平面ABC,
所以點(diǎn)O1在A1O上,則O1是正三角形A1AC的中心.
則球半徑R=A1A=,球表面積S=4πR2=π.
分析:此題可利用空間向量做:由于A1O⊥AC,BO⊥AC,A1A=A1C=2故取AC中點(diǎn)為O則A1O⊥AC,BO⊥AC而側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC且故可利用面面垂直的性質(zhì)定理可得A1O⊥OB所以可以O(shè)B,OC,OA1所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
(1)要證明A1B⊥A1C1即證明即說(shuō)明=0即可故需求出的坐標(biāo)然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算求出即可.
(2)分別求出面BCC1,面ACC1的法向量m,n然后利用向量的夾角公式cos<>=求出<,>而點(diǎn)B在平面ACC1內(nèi)的射影O在二面角的面ACC1內(nèi)故二面角A-CC1-B為銳角所以二面角A-CC1-B的大小為<,>(cos<>>0)或π-<,>(cos<,><0).
(3)由于A1A=A1C,AB⊥BC,O為AC的中點(diǎn)故A,B,C三點(diǎn)所在的平面截經(jīng)過(guò)A1、A、B、C四點(diǎn)的球所得的截面為球的小圓而A1O⊥平面ABC故經(jīng)過(guò)A1、A、B、C四點(diǎn)的球的球心在A1O上而三角形A1AC為正三角形故根據(jù)對(duì)稱性可知球心在正三角形A1AC的中心然后利用正三角形的性質(zhì)求出球的半徑再結(jié)合球的表面經(jīng)公式即可得解.
點(diǎn)評(píng):本題主要考察了利用空間向量證明線線垂直、求二面角以及求球的表面積,屬?碱},較難.解題的關(guān)鍵是正確建立空間直角坐標(biāo)系然后將線線垂直、二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明向量垂直,法向量的夾角問(wèn)題,同時(shí)還要求計(jì)算一定要準(zhǔn)確!
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AC=BC=2,AA1=4,AB=2
2
,M,N分別是棱CC1,AB中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:CN⊥平面ABB1A1
(Ⅱ)求證:CN∥平面AMB1
(Ⅲ)求三棱錐B1-AMN的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,且AB⊥AC,M是CC1的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線A1B1上,且滿足
A1P
A1B1

(1)證明:PN⊥AM;
(2)當(dāng)λ取何值時(shí),直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該角最大值的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分別是CC1,BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線A1B1上,且
A1P
A1B1

(Ⅰ)證明:無(wú)論λ取何值,總有AM⊥PN;
(Ⅱ)當(dāng)λ取何值時(shí),直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該角取最大值時(shí)的正切值;
(Ⅲ)是否存在點(diǎn)P,使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°,若存在,試確定點(diǎn)P的位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為2,且A1A⊥底面ABC,D為AB的中點(diǎn),G為△ABC1的重心,則|
CG
|的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC,∠ABC=90°,D為AC中點(diǎn).
(1)求證:BD⊥AC1;
(2)若AB=
2
,AA1=2
3
,求AC1與平面ABC所成的角.

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