Question

1．已知函數(shù)g（x）=x³+3ax-2．
（1）當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線(xiàn)y=g（x）的切線(xiàn)；
（2）求a的范圍，使g（x）有極值，并求極大值與極小值的和；
（3）設(shè)f（x）=[$\frac{1}{3}$g′（x）-ax]e^x-x²，若函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)切點(diǎn)為（m，0），則$\left\{\begin{array}{l}{3{m}^{2}+3a=0}\\{{m}^{3}+3am-2=0}\end{array}\right.$，即可求出a；
（2）分類(lèi)討論，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出a的范圍，使g（x）有極值，并求極大值與極小值的和；
（3）h（x）=x+2-$\frac{2}{{e}^{x}}$，在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，其值域?yàn)镽．則存在唯一x₀∈R，使得h（x₀）=a，分類(lèi)討論，利用函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值，求a的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（m，0），則$\left\{\begin{array}{l}{3{m}^{2}+3a=0}\\{{m}^{3}+3am-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{a=-1}\end{array}\right.$
∴a=-1時(shí)，x軸為曲線(xiàn)y=g（x）的切線(xiàn)．      …（3分）
（2）g′（x）=3x²+3a
當(dāng)a≥0時(shí)，g′（x）≥0成立，函數(shù)y=g（x）無(wú)極值
a＜0，由g′（x）≥0，∴y=g（x）在（-∞，-$\sqrt{-a}$]和[$\sqrt{-a}$，+∞）上單增
由g′（x）≤0，∴y=g（x）在[-$\sqrt{-a}$，$\sqrt{-a}$]上單減
∴g（x）_極大=g（-$\sqrt{-a}$），g（x）_極小=g（$\sqrt{-a}$），g（x）_極大+g（x）_極小=g（-$\sqrt{-a}$）+g（$\sqrt{-a}$）=-4，
∴a＜0時(shí)，函數(shù)y=g（x）有極值，g（x）_極大+g（x）_極小=-4    …（7分）
（3）f（x）=（x²-ax+a）e^x-x²，
f′（x）=x[（x+2-a）e^x-2]，x∈R，
令f′（x）=0，則x=0或x+2-$\frac{2}{{e}^{x}}$-a=0，即x=0或h（x）=a，
∵h(yuǎn)（x）=x+2-$\frac{2}{{e}^{x}}$，在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，其值域?yàn)镽．
∴存在唯一x₀∈R，使得h（x₀）=a，
①若x₀＞0，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，h（x）＜a，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h（x）＜a，f′（x）＜0；∴f（x）在x=0處取得極大值，這與題設(shè)矛盾；
②若x₀=0，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，h（x）＜a，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）＞a，f（x）＞0；∴f（x）在x=0處不取極值，這與題設(shè)矛盾；
③若x₀＜0，當(dāng)x∈（x₀，0）時(shí)，h（x）＞a，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）＞a，f′（x）＞0；∴f（x）在x=0處取得極小值；
綜上所述，x₀＜0，∴a=h（x₀）＜h（0）=0．
∴a的取值范圍是（-∞，0）． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．