Question

20．已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-x²，在（1，2）內(nèi)任取兩個實數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），若不等式$\frac{f（{x}_{1}+1）-f（{x}_{2}+1）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （28，+∞）
• B． [15，+∞）
• C． [28，+∞）
• D． （15，+∞）

Answer 1

分析 求得x₁+1 和x₂+1在區(qū)間（2，3）內(nèi)，將原不等式移項，可得$\frac{f（{x}_{1}+1）-（{x}_{1}+1）-[f（{x}_{2}+1）-（{x}_{2}+1）]}{（{x}_{1}+1）-（{x}_{2}+1）}$＞0，即有函數(shù)y=f（x）-x在（2，3）內(nèi)遞增．求得函數(shù)y的導數(shù)，可得y′≥0在（2，3）恒成立，即a≥2x²+3x+1在（2，3）內(nèi)恒成立，求出函數(shù)y=2x²+3x+1在[2，3]上的最大值即可．

解答 解：因?qū)崝?shù)x₁，x₂在區(qū)間（1，2）內(nèi)，
故x₁+1 和x₂+1在區(qū)間（2，3）內(nèi)．
不等式$\frac{f（{x}_{1}+1）-f（{x}_{2}+1）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1恒成立，
即為$\frac{f（{x}_{1}+1）-（{x}_{1}+1）-[f（{x}_{2}+1）-（{x}_{2}+1）]}{（{x}_{1}+1）-（{x}_{2}+1）}$＞0，
即有函數(shù)y=f（x）-x在（2，3）內(nèi)遞增．
函數(shù)y=f（x）-x=aln（x+1）-x²-x的導數(shù)為y′=$\frac{a}{x+1}$-2x-1，
即有y′≥0在（2，3）恒成立．
即a≥（2x+1）（x+1）在（2，3）內(nèi)恒成立．
由于二次函數(shù)y=2x²+3x+1在[2，3]上是單調(diào)增函數(shù)，
故x=3時，y=2x²+3x+1 在[2，3]上取最大值為28，即有a≥28，
故答案為[28，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查了導數(shù)的應用：判斷單調(diào)性，考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查轉化思想，將不等式轉化為函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵．