Question

已知是實(shí)系數(shù)方程的虛根，記它在直角坐標(biāo)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.

   （1）若在直線(xiàn)上，求證：在圓：上；

   （2）給定圓：（，），則存在唯一的線(xiàn)段滿(mǎn)足：①若在圓上，則在線(xiàn)段上；② 若是線(xiàn)段上一點(diǎn)（非端點(diǎn)），則在圓上. 寫(xiě)出線(xiàn)段的表達(dá)式，并說(shuō)明理由；

   （3）由（2）知線(xiàn)段與圓之間確定了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的研究，填寫(xiě)表一（表中是（1）中圓的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段）.

    表一：

線(xiàn)段與線(xiàn)段的關(guān)系	的取值或表達(dá)式
所在直線(xiàn)平行于所在直線(xiàn)
所在直線(xiàn)平分線(xiàn)段
線(xiàn)段與線(xiàn)段長(zhǎng)度相等

Answer 1

證明：（1）由題意可得 ，解方程，得

，                                       

     點(diǎn)或，

    將點(diǎn)代入圓的方程，等號(hào)成立，

     在圓：上.                                  

（2）解法一：當(dāng)，即時(shí)，解得，

     點(diǎn)或，                    

    由題意可得，整理后得 ， 

    ，，

    .                                         

     線(xiàn)段為： ，.          

若是線(xiàn)段上一點(diǎn)（非端點(diǎn)），則實(shí)系數(shù)方程為

.

此時(shí)，且點(diǎn)、在圓上.                                                                

    解法二：設(shè)是原方程的虛根，則，

解得

    由題意可得，.      ③

    解①、②、③ 得 .                               

   以下同解法一

.解（3）表一

線(xiàn)段與線(xiàn)段的關(guān)系	的取值或表達(dá)式	得分
所在直線(xiàn)平行于所在直線(xiàn)	，	12分
所在直線(xiàn)平分線(xiàn)段	，	15分
線(xiàn)段與線(xiàn)段長(zhǎng)度相等		18分