Question

在平行四邊形ABCD中，|

AD

|=1，|

AB

|=2，|2

AB

-

AD

|=

13

，
（Ⅰ）求∠BAD；
（Ⅱ）若M，N分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且滿足

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

，求

AM

•

AN

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量的模

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先，根據(jù)|2

AB

-

AD

|=

13

，得到|2

AB

-

AD

|²=13，然后，借助于數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解；
（Ⅱ）直接構(gòu)造向量關(guān)系式，

AM

•

AN

=（

a

+

1

m

b

）•（

m-1

m

b

）=

5m2-2m-1

m2

=-（

1

m

+1）²+6，然后，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)求解最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵|

AD

|=1，|

AB

|=2，|2

AB

-

AD

|=

13

，
∴|2

AB

-

AD

|²=13，
∴4|

AB

|²-4|

AB

||

AD

|cos∠BAD+|

AD

|²=13，
∴cos∠BAD=

1

2

，
∵∠BAD∈[0，π]，
∴∠BAD=

π

3

．
（Ⅱ）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則B（2，0），A（0，0），
D（

1

2

，

3

2

），設(shè)

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

=λ，λ∈[0，1]，
M（2+

λ

2

，

3 λ

2

），N（

5

2

-2λ，

3

2

），
所以

AM

•

AN

=（2+

λ

2

，

3 λ

2

）•（

5

2

-2λ，

3

2

）=-λ²-2λ+5，
因?yàn)棣恕蔥0，1]，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：λ=-1，
所以λ∈[0，1]時(shí)，-λ²-2λ+5∈[2，5]．
∴求

AM

•

AN

的取值范圍[2，5]

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了平面向量的基本運(yùn)算，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．