Question

已知函數(shù)。

（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（II）若對(duì)任意x∈［1，e］，使得g（x）≥－x²＋（a＋2）x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（III）設(shè)F（x）＝，曲線y＝F（x）上是否總存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ是以O(shè)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為鈍角柄點(diǎn)的鈍角三角開(kāi)，且最長(zhǎng)邊的中點(diǎn)在y軸上？請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵

∴當(dāng)、時(shí)，在區(qū)間、上單調(diào)遞減．

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增．          ………3分

（Ⅱ）由，得．

∵，且等號(hào)不能同時(shí)取得，∴，

∵對(duì)任意，使得恒成立，

∴對(duì)恒成立，即．（）

令，求導(dǎo)得，，      ………5分

∵，

∴在上為增函數(shù)，，．            ………7分

（Ⅲ）由條件，，

假設(shè)曲線上總存在兩點(diǎn)滿足：是以為鈍角頂點(diǎn)的鈍角三角形，且最長(zhǎng)邊的中點(diǎn)在軸上，則只能在軸兩側(cè)．

不妨設(shè)，則．

∴，  …（※），

是否存在兩點(diǎn)滿足條件就等價(jià)于不等式（※）在時(shí)是否有解．………9分

①     若時(shí)，，化簡(jiǎn)得，對(duì)此不等式恒成立，故總存在符合要求的兩點(diǎn)P、Q；                    ………11分

②     若時(shí)，（※）不等式化為，若,此不等式顯然對(duì)恒成立，故總存在符合要求的兩點(diǎn)P、Q；

若a>0時(shí)，有…（▲），

設(shè)，則，

顯然， 當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)，

的值域?yàn)?sub>，即，

當(dāng)時(shí)，不等式（▲）總有解．故對(duì)總存在符合要求的兩點(diǎn)P、Q．

………13分

綜上所述，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以為鈍角頂點(diǎn)的鈍角三角形，且最長(zhǎng)邊的中點(diǎn)在軸上．                                ……14分