Question

已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結論中不正確的是（　�。�

• A、y=f（x）的圖象關于（π，0）中心對稱
• B、y=f（x）的圖象關于x=

  π

  2

  對稱
• C、f（x）的最大值為

  3

  2

• D、f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

Answer 1

考點：二倍角的正弦,二倍角的余弦

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用二倍角公式與三角函數(shù)間的關系可將函數(shù)f（x）=cosxsin2x轉化為f（x）=2sinx-2sin³x，再對A、B、C、D四個選項逐一分析即可．

解答： 解：f（x）=cosxsin2x=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，
對于A：∵f（π-x）+f（π+x）=（2sinx-2sin³x）-（2sinx-2sin³x）=0，
∴y=f（x）的圖象關于（π，0）中心對稱，即A正確；
對于B：∵f（π-x）=2sinx-2sin³x=f（x），∴y=f（x）的圖象關于x=

π

2

對稱，即B正確；
對于C：y′=-sinxsin2x+2cosxcos2x
=-2sin²xcosx+2cosx（1-2sin²x）
=-6sin²xcosx+2cosx，
令y′=0得：（3sin²x-1）cosx=0，
∴當sinx=

3

3

時取得最大值

4 3

9

，故C錯誤；
對于D：∵f（-x）=f（x），∴是奇函數(shù)，又f（x+2π）=f（x），故是周期為2π的周期函數(shù)，故D正確；
故選：C．

點評：本題考查二倍角公式與三角函數(shù)間的關系，著重考查三角函數(shù)的周期性、對稱性、奇偶性及最值的綜合應用，屬于難題．