Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，10a_n+1-9a_n-1=0，bn=

9

10

(n+2)(an-1)．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）當(dāng)n取何值時(shí)，b_n取最大值；
（3）若

tm

bm

＜

tm+1

bm+1

對(duì)任意m∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)遞推式10a_n+1-9a_n-1=0，變形整理可得

an+1-1

an-1

=

9 10 an+ 1 10 -1

an-1

=

9

10

，由此可證結(jié)論；
（2）確定a_n-1=(

9

10

)n-1，可得b_n的表達(dá)式，確定當(dāng)n=7時(shí)，b₈=b₇；當(dāng)n＜7時(shí)，

bn+1

bn

＞1，b_n+1＞b_n；當(dāng)n＞7時(shí)，

bn+1

bn

＜1，b_n+1＜b_n，從而可得結(jié)論；
（3）

tm

bm

＜

tm+1

bm+1

，得tm[

1

m+2

-

10t

9(m+3)

]＜0對(duì)任意m∈N^*恒成立，對(duì)t分類討論．當(dāng)t＞0時(shí)，由t^m＞0（m∈N^*），分離參數(shù)可得t＞

9(m+3)

10(m+2)

，確定右邊的最大值，即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：（1）證明：∵10a_n+1-9a_n-1=0，
∴an+1=

9

10

an+

1

10

．
∴

an+1-1

an-1

=

9 10 an+ 1 10 -1

an-1

=

9

10

，
∵a₁=2，
∴{a_n-1}是以a₁-1=1為首項(xiàng)，公比為

9

10

的等比數(shù)列．
（2）解：由（ 1），可知a_n-1=(

9

10

)n-1（n∈N^*）．
∴bn=

9

10

(n+2)(an-1)=(n+2)(

9

10

)n，

bn+1

bn

=

(n+3)( 9 10 )n+1

(n+2)( 9 10 )n

=

9

10

(1+

1

n+2

)．
當(dāng)n=7時(shí)，

b8

b7

=1，b₈=b₇；當(dāng)n＜7時(shí)，

bn+1

bn

＞1，b_n+1＞b_n；當(dāng)n＞7時(shí)，

bn+1

bn

＜1，b_n+1＜b_n．
∴當(dāng)n=7或n=8時(shí)，b_n取最大值，最大值為b7=b8=

98

107

．
（3）解：由

tm

bm

＜

tm+1

bm+1

，得tm[

1

m+2

-

10t

9(m+3)

]＜0．（*）
依題意，（*）式對(duì)任意m∈N^*恒成立，
①當(dāng)t=0時(shí)，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．
②當(dāng)t＜0時(shí)，由

1

m+2

-

10t

9(m+3)

＞0，可知t^m＜0（m∈N^*），而當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)t^m＞0，因此t＜0不合題意．
③當(dāng)t＞0時(shí)，由t^m＞0（m∈N^*），
∴

1

m+2

-

10t

9(m+3)

＜0，∴t＞

9(m+3)

10(m+2)

（m∈N^*）．
設(shè)h(m)=

9(m+3)

10(m+2)

（m∈N^*），
∵h(m+1)-h(m)=

9(m+4)

10(m+3)

-

9(m+3)

10(m+2)

=-

9

10

•

1

(m+2)(m+3)

＜0，
∴h（1）＞h（2）＞…＞h（m-1）＞h（m）＞…．
∴h（m）的最大值為h(1)=

6

5

．
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是t＞

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的最大值，考查恒成立問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．