Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，?n∈N^*，點(diǎn)（a_n，a_n+1）都在直線x-2y+1=0上．
（1）證明：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

（1）證明：∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）都在直線x-2y+1=0上，∴a_n-2a_n+1+1=0，
變形為a_n-1=2（a_n+1-1），an+1-1=

1

2

(an-1)，又a₁-1=1≠0，
∴數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為

1

2

．
（2）由（1）得an-1=1×(

1

2

)n-1，
∴an=1+21-n．
（3）Sn=(1+20)+(1+2-1)+(1+2-2)+…+(1+21-n)
=n+（2⁰+2^-1+2^-2+…+2^1-n）
=n+

1-2-n

1-2-1

=n+2-2^1-n．