Question

12．已知A（2，0），點(diǎn)P在以原點(diǎn)O為圓心、半徑為1的圓周上運(yùn)動(dòng)．以PA為邊向外作正三角形APQ，多邊形OPQA的面積為S．
（1）設(shè)∠AOP=θ．求S=f（θ）的表達(dá)式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求S=g（x）的表達(dá)式；
（3）請選擇（1）（2）中的一種方法，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）f（θ）=S_POAQ=S_△POA+S_△PQA．設(shè)∠AOP=θ．即可求S=f（θ）的表達(dá)式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，x=cosθ，y=sinθ，即可求S=g（x）的表達(dá)式；
（3）請選擇（1）中的一種方法，利用三角函數(shù)知識(shí)求S的最大值．

解答 解：（1）f（θ）=S_POAQ=S_△POA+S_△PQA．
S_△POA=$\frac{1}{2}$OPsinθ×OA=sinθ[由對稱性只考慮上半平面∴θ∈（0，π）]
S_△PQA=$\frac{1}{2}$PQ×PAsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$PA²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（PO²+OA²-2PO×OA）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosθ）
∴f（θ）=sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosθ）=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+sinθ-$\sqrt{3}$cosθ；
 （2 ）設(shè)P（x，y）在單位圓中，x=cosθ，y=sinθ，
由對稱性只考慮上半平面  x∈（-1，1）]
  g（x）=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+y-$\sqrt{3}$x=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$-$\sqrt{3}$x；
 （3）f（θ）=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+sinθ-$\sqrt{3}$cosθ=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2sin（θ-$\frac{π}{3}$）
∴sin（θ-$\frac{π}{3}$）=1，f（θ）_max=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2．

點(diǎn)評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查四邊形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．