Question

已知函數(shù)，．
（Ⅰ）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當a＜1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當時，函數(shù)f（x）在（0，2]上的最大值為M，若存在x∈[1，2]，使得g（x）≥M成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=-x+lnx，
f（1）=-1+ln1=-1，，f'（1）=0．
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y=-1．
（Ⅱ），
①當a=0時，解，得0＜x＜1，解，得x＞1，
所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為在（1，+∞）；
②a≠0時，令f'（x）=0得x=1或，
i）當0＜a＜1時，，當x變化時f（x）、f′（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1））	1
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增		減		增

函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），，遞減區(qū)間為；
ii）當a＜0時，，
在（0，1）上f'（x）＞0，在（1，+∞）上f'（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，2）上是減函數(shù)，
所以，
存在x∈[1，2]，使，即存在x∈[1，2]，使，
只需函數(shù)g（x）在[1，2]上的最大值大于等于，
所以有，即，解得：，
所以b的取值范圍是．
分析：（Ⅰ）當a=0時求出f（x），f′（x），f（1），切線斜率k=f′（1），利用點斜式即可求得切線方程；
（Ⅱ）求出導數(shù)f′（x），分情況討論：①a=0時，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得f（x）的單調(diào)區(qū)間；②a≠0時，解方程f′（x）=0得x=1或x=，按照1與的大小討論，根據(jù)f′（x）的符號即可求得其單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當時，借助（Ⅱ）問單調(diào)性易求得M，存在x∈[1，2]，使，等價于，由二次函數(shù)的性質可得不等式組，解出即可；
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、某點處切線方程、在閉區(qū)間上的最值等知識，考查分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力，把存在性問題轉化為最值問題是解決（Ⅲ）問的關鍵．