在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若向量
m
=(b+c,a2+bc)
,
n
=(b+c,-1)
,且
m
n
=0

(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若a=
3
,求△ABC的面積的最大值.
考點(diǎn):正弦定理,余弦定理
專題:解三角形
分析:(Ⅰ)由兩向量的坐標(biāo)及兩向量數(shù)量積為0,列出關(guān)系式,再利用余弦定理表示出cosA,將得出關(guān)系式代入求出cosA的值,即可確定出角A的大。
(Ⅱ)利用余弦定理列出關(guān)系式,把cosA與a的值代入,并利用基本不等式求出bc的最大值,即可確定出三角形ABC面積的最大值.
解答: 解:(Ⅰ)∵
m
=(b+c,a2+bc),
n
=(b+c,-1),且
m
n
=0,
∴(b+c)2-a2-bc=0,即b2+c2-a2=-bc,
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
-bc
2bc
=-
1
2
,
又A∈(0,π),∴A=
3

(Ⅱ)∵cosA=-
1
2
,a=
3

∴由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2=3-bc,
又b2+c2≥2bc(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)),
∴3-bc≥2bc,即bc≤1.
∴S△ABC=
1
2
bcsinA≤
3
4
,
則△ABC的面積的最大值為
3
4
點(diǎn)評(píng):此題考查了余弦定理,平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,三角形面積公式,以及基本不等式的運(yùn)用,熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

等差數(shù)列{an}中,a7+a9=16,a4=1,則a12=( 。
A、15B、30C、31D、64

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

有兩排座位,前、后排各有10個(gè)位置,有2名同學(xué)隨機(jī)在這兩排座位上就坐,則在第一個(gè)人坐在前排的情況下,第二個(gè)人坐在后排的概率為( 。
A、
10
19
B、
5
19
C、
1
2
D、
19
20

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,an=4n-1+n,n∈N*
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(2)證明不等式Sn+1≤4Sn,對(duì)任意n∈N*皆成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(
5
,sin2α),
b
=(cos2α,
15
).
(1)若
a
b
,且α∈(
π
2
,π),求角α的值;
(2)若
a
b
=-
8
5
5
,且α∈(
12
3
),求sin2α的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在(
x
+
1
2•
4x
n的展開式中,前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列,求
(1)展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和;
(2)展開式中的有理項(xiàng);
(3)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ax-lnx-3(a∈R),g(x)=
x
ex

(Ⅰ) 若函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(0,0)處的切線也恰為f(x)圖象的一條切線,求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)a(a>0),對(duì)任意的x∈(0,e],都有唯一的x0∈[e-4,e],使得 f(x0)=g(x)成立.若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π,在一周期內(nèi),當(dāng)x=
π
12
時(shí),y取得最大值3,當(dāng)x=
12
時(shí),y取得最小值-3,求:
(1)函數(shù)的解析式;
(2)求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間與對(duì)稱軸方程,對(duì)稱中心坐標(biāo);
(3)當(dāng)x∈[-
π
12
,
π
6
]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直線l1:(k+1)x+y+1=0:和l2:(k-3)x-ky-1=0,l1∥l2,求k的值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案