Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知動直線y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點，點M（-$\frac{7}{3}$，0），求證：$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$為定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程解出a，b；
（2）聯(lián)立方程組消元，得出A，B坐標(biāo)的關(guān)系，代入向量的數(shù)量積公式計算即可．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\\{\frac{1}{2}×2c×b=\frac{5\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，解得a²=5，b²=$\frac{5}{3}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{3}}=1$．
（2）將y=k（x+1）代入$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{3}}=1$，得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-5}{3{k}^{2}+1}$．
∴y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1）=k²x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²，
∵$\overrightarrow{MA}$=（x₁+$\frac{7}{3}$，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂+$\frac{7}{3}$，y₂），
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x₁+$\frac{7}{3}$）（x₂+$\frac{7}{3}$）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（$\frac{7}{3}$+k²）（x₁+x₂）+$\frac{49}{9}$+k²
=（1+k${\;}^{{\;}^{2}}$）•$\frac{3{k}^{2}-5}{3{k}^{2}+1}$-（$\frac{7}{3}$+k²）•$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$+$\frac{49}{9}$+k²
=$\frac{-3{k}^{4}-16{k}^{2}-5}{3{k}^{2}+1}$+$\frac{49}{9}$+k²
=$\frac{4}{9}$．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．