Question

某農(nóng)場(chǎng)有廢棄的豬圈，留有一面舊墻長(zhǎng)12m，現(xiàn)準(zhǔn)備在該地區(qū)重新建立一座豬圈，平面圖為矩形，面積為112m²，預(yù)計(jì)
（1）修復(fù)1m舊墻的費(fèi)用是建造1m新墻費(fèi)用的25%；
（2）拆去1m舊墻用以改造建成1m新墻的費(fèi)用是建1m新墻的50%；
（3）為安裝卷門，要在圍墻的適當(dāng)處留出1m的空缺．試問：這里建造豬圈的圍墻應(yīng)怎樣利用舊墻，才能使所需的總費(fèi)用最小．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意，設(shè)矩形的長(zhǎng)為xm，則寬為

112

x

m（x≥4

7

）；建1m新墻的費(fèi)用為1個(gè)單位，總費(fèi)用為y，從而寫出函數(shù)表達(dá)式，利用基本不等式與函數(shù)的單調(diào)性求取值范圍，從而求函數(shù)的最小值，最后轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題．

解答： 解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為xm，則寬為

112

x

m（x≥4

7

）；建1m新墻的費(fèi)用為1個(gè)單位，總費(fèi)用為y；
則當(dāng)4

7

≤x≤12時(shí)，
y=25%•x+50%（12-x）+[2（x+

112

x

）-12-1]
=

7

4

x+

224

x

-20≥28

2

-20，
（當(dāng)且僅當(dāng)

7

4

x=

224

x

，即x=8

2

時(shí)，等號(hào)成立）；
當(dāng)x＞12時(shí)，
y=25%•12+[2（x+

112

x

）-12-1]
=2x+

224

x

-23；
其在（12，+∞）上是增函數(shù)，
故y＞24+

56

3

-23=

59

3

＞28

2

-20，
故修復(fù)8

2

m的舊墻，將剩于的上舊墻改造成新墻，才能使所需的總費(fèi)用最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，同時(shí)考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用與基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．