Question

【題目】已知f（x）=ex+acosx（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若f（x）在x=0處的切線過點(diǎn)P（1，6），求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)x∈[0， ]時(shí)，f（x）≥ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）=ex﹣asinx，∴f'（0）=1．f（0）=1+a，

∴f（x）在x=0處的切線方程為y=x+1+a，

∵切線過點(diǎn)P（1，6），∴6=2+a，∴a=4

（2）解：由f（x）≥ax，可得ex≥a（x﹣cosx），（*）

令g（x）=x﹣cosx， ，

∴g'（x）=1+sinx＞0，且g（0）=﹣1＜0， ，

∴存在 ，使得g（m）=0，

當(dāng)x∈（0，m）時(shí)，g（m）＜0；當(dāng) 時(shí)，g（m）＞0．

①當(dāng)x=m時(shí)，em＞0，g（m）=m﹣cosm=0，

此時(shí)，對(duì)于任意a∈R（*）式恒成立；

②當(dāng) 時(shí)，g（x）=x﹣cosx＞0，

由ex≥a（x﹣cosx），得 ，

令 ，下面研究h（x）的最小值．

∵ 與t（x）=x﹣cosx﹣sinx﹣1同號(hào)，

且t'（x）=1+sinx﹣cosx＞0對(duì) 成立，

∴函數(shù)t（x）在 上為增函數(shù)，而 ，

∴ 時(shí)，t（x）＜0，∴h'（x）＜0，

∴函數(shù)h（x）在 上為減函數(shù)，∴ ，∴ ．

③當(dāng)x∈[0，m）時(shí)，g（x）=x﹣cosx＜0，

由ex≥a（x﹣cosx），得 ，

由②可知函數(shù) 在[0，m）上為減函數(shù)，

當(dāng)x∈[0，m）時(shí)，h（x）max=h（0）=﹣1，∴a≥﹣1，

綜上，

【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，可得f（x）在x=0處的切線方程，利用f（x）在x=0處的切線過點(diǎn)P（1，6），求實(shí)數(shù)a的值；（2）由f（x）≥ax，可得ex≥a（x﹣cosx），令g（x）=x﹣cosx， ，分類討論由ex≥a（x﹣cosx），得 ，令 ，研究h（x）的最值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．