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已知直線l的參數方程是
x=2t
y=4t+a
(t為參數),圓C的極坐標方程為ρ=4
2
cos(θ+
π
4
).
(Ⅰ)將圓C的極坐標方程化寫為直角坐標系方程;
(Ⅱ)若圓C上有且僅有三個點到直線l距離為
2
,求實數a的值.
分析:(Ⅰ)利用極坐標系與直角坐標系的互化公式即可得出;
(Ⅱ)要滿足條件“圓C上有且僅有三個點到直線l距離為
2
”,當圓心C到直線l的距離為
2
時即可.
解答:解:(Ⅰ)由圓C的極坐標方程為ρ=4
2
cos(θ+
π
4
)展開得ρ=4cosθ-4sinθ,變?yōu)棣?SUP>2=4ρcosθ-4ρsinθ,
化為直角坐標系方程x2+y2=4x-4y,
∴圓C的直角坐標系方程為x2+y2=4x-4y;
(Ⅱ)直線l的參數方程是
x=2t
y=4t+a
(t為參數),
消去參數化為y=2x+a.
由(1)可知:圓C的方程為(x-2)2+(y+2)2=8,
∴圓心C(2,-2),半徑r=2
2

如圖所示:
∵圓C上有且僅有三個點到直線l距離為
2
,半徑r=2
2

∴當圓心C到直線l的距離為
2
時,與直線l平行的直徑與圓的兩個交點滿足條件,另外與直線l平行且與圓相切的切線的切點也滿足條件,因此圓C上共有三個點到直線l的距離等于
2

|4+2+a|
22+(-1)2
=
2
,解得a=-6±
10

∴實數a的值為-6±
10
點評:熟練掌握極坐標系與直角坐標系的互化公式、點到直線的距離公式及把問題等價轉化是解題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

C選修4-4:坐標系與參數方程已知直線l的參數方程:
x=2t
y=1+4t
(t為參數),曲線C的極坐標方程:ρ=2
2
sin(θ+
π
4
),求直線l被曲線C截得的弦長.

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科目:高中數學 來源: 題型:

極坐標與參數方程:
已知直線l的參數方程是:
x=2t
y=1+4t
(t為參數),圓C的極坐標方程是:ρ=2
2
sin(θ+
π
4
),試判斷直線l與圓C的位置關系.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知直線l的參數方程為
x=
1
2
t
y=2+
3
2
t
(t為參數),曲線C的極坐標方程是ρ=
sinθ
1-sin2θ
以極點為原點,極軸為x軸正方向建立直角坐標系,點M(0,2),直線l與曲線C交于A,B兩點.
(1)寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程;
(2)線段MA,MB長度分別記|MA|,|MB|,求|MA|•|MB|的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(坐標系與參數方程選做題) 已知直線l的參數方程為
x=
2
2
t
y=1+
2
2
t
(t為參數),圓C的參數方程為
x=cosθ+2
y=sinθ
(θ為參數),則圓心C到直線l的距離為
3
2
2
3
2
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•香洲區(qū)模擬)已知直線L的參數方程為:
x=t
y=a+
3
t
(t為參數),圓C的參數方程為:
x=sinθ
y=cosθ+1
(θ為參數).若直線L與圓C有公共點,則常數a的取值范圍是
[-1,3]
[-1,3]

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