Question

如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=2BD，M是EA的中點(diǎn)
（Ⅰ）判斷BM與DE的位置關(guān)系，不需證明；
（Ⅱ）求證：DM∥平面ABC；
（Ⅲ）求證：平面DEA⊥平面ECA．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）BM與DE是異面直線(xiàn)．
（Ⅱ）取AC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，由已知條件推導(dǎo)出四邊形MNBD是平行四邊形，由此能證明DM∥平面ABC．
（Ⅲ）由等邊三角形性質(zhì)得BN⊥AC，由線(xiàn)面垂直得BN⊥CE，從而得BN⊥平面ACE，再由DM∥BN，能證明平面DEA⊥平面ECA．

解答： （Ⅰ）BM與DE是異面直線(xiàn)．
（Ⅱ）證明：取AC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，
∵M(jìn)是EA的中點(diǎn)，∴MN=

1

2

CE，且MN∥CE，
又由已知BD∥CE，且BD=

1

2

CE，
∴MN∥BD，且MN=BD，
∴四邊形MNBD是平行四邊形，
∴DM∥BN，又DM不包含平面ABC，BN?平面ABC，
∴DM∥平面ABC．
（Ⅲ）∵△ABC為正三角形，N為AC的中點(diǎn)，∴BN⊥AC，
又CE⊥平面ABC，BN?平面ABC，∴BN⊥CE，
∵AC∩CE=C，且AC、CE?平面ACE，
∴BN⊥平面ACE，
由（Ⅱ）知DM∥BN，
∴DM⊥平面ACE，又∵DM?平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．