Question

10．已知橢圓x²+2y²=4，求以（1，1）為中點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度？

Answer 1

分析 設(shè)弦的端點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程可得：${x}_{1}^{2}$+$2{y}_{1}^{2}$=4，${x}_{2}^{2}$+2${y}_{2}^{2}$=4，相減可得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式解得k．可得要求的弦所在直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立化為：利用|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：設(shè)弦的端點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程可得：${x}_{1}^{2}$+$2{y}_{1}^{2}$=4，${x}_{2}^{2}$+2${y}_{2}^{2}$=4，相減可得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，
∴2+2×2k=0，解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴要求的弦所在直線(xiàn)方程為：y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），化為：x+2y-3=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-3=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：3x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=$\frac{1}{3}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{5}{4}×（4-4×\frac{1}{3}）}$=$\frac{\sqrt{30}}{3}$．
故以（1，1）為中點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度為$\frac{\sqrt{30}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．