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 已知橢圓具有性質：若是橢圓上關于原點對稱的兩點，點是橢圓上任意一點，當直線的斜率都存在，并記為時，那么與之積是與點的位置無關的定值，試寫出雙曲線具有類似特性的性質并加以證明．

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 【解析】可以通過橫向類比得：若是上述雙曲線上關于原點對稱的兩點，點是雙曲線上任意一點，當直線的斜率都存在，并記為時，那么與之積是與點的位置無關的定值．……4分

下面給出嚴格的證明：

設點，則，其中，又設點的坐標

為，則，，……8分

注意到，點在雙曲線上，

故，代入可得：

（常數），　

既與點的位置無關的定值……12分

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•南寧二模）設F1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點．
（Ⅰ）若橢圓C上的點A（1，
3
2
）到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設點P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動點，Q（0，
1
2
），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P在橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，那么KPM與KPN之積是與點P位置無關的定值．設對雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質（不必給出證明）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質：若A是橢圓C的一條與x軸不垂直的弦的中點，那么該弦的斜率等于點A的橫、縱坐標的比值與某一常數的積．試對雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質：若A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0且a，b為常數）上關于原點對稱的兩點，點P是橢圓上的任意一點，若直線PA和PB的斜率都存在，并分別記為kPA，kPB，那么kPA與kPB之積是與點P位置無關的定值-
b2
a2
．試對雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0且a，b為常數）寫出類似的性質，并加以證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，P是橢圓上任意一點，則當直線PM，PN的斜率都存在時，其乘積恒為定值．類比橢圓，寫出雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的類似性質，并加以證明．

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