Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，M為PC上一點，且PA∥平面BDM，
（1）求證：M為PC的中點；
（2）求證：面ADM⊥面PBC．

Answer 1

證明：
（1）連接AC，AC與BD交于G，則面PAC∩面BDM=MG，
由PA∥平面BDM，可得PA∥MG（3分）
∵底面ABCD為菱形，∴G為AC的中點，
∴MG為△PAC的中位線．
因此M為PC的中點．（5分）

（2）取AD中點O，連接PO，BO．
∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD，又因為平面PAD⊥平面ABCD，
所以，PO⊥平面ABCD，（7分）
∵底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，△ABD是正三角形，
∴AD⊥OB．
∴OA，OB，OP兩兩垂直，建立空間直角坐標系（7分）
則A（1，0，0），
∴
∴（9分）
=（2，0，0）
∴=0+0+0=0
∴DM⊥BP，DM⊥CB（11分）
∴DM⊥平面PBC，又DM?平面ADM，
∴面ADM⊥面PBC（12分）
分析：（1）連接AC，AC與BD交于G，根據(jù)線面平行的性質可知PA∥MG，而底面ABCD為菱形，則G為AC的中點，從而MG為△PAC的中位線，最終說明M為PC的中點．
（2）取AD中點O，連接PO，BO．分別以OA，OB，OP為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，根據(jù)=0，=0可得DM⊥BP，DM⊥CB，再根據(jù)線面垂直的判定定理可知DM⊥平面PBC，又DM?平面ADM，滿足面面垂直的判定定理所需條件．
點評：本題主要考查平面與平面垂直的判定，以及線面平行的性質和利用向量法證明立體幾何的有關問題，同時考查了空間想象能力，計算能力和推理能力，以及轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．