Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1（a為實常數(shù)）．
（Ⅰ）若a=1，作函數(shù)f（x）的圖象并寫出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a≥0時，設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=

f(x)

x

，若函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)圖象的作法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，利用分段函數(shù)作函數(shù)f（x）的圖象并寫出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a≥0時，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求g（a）的表達式；
（Ⅲ）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：（I）當(dāng)a=1時，f（x）=x²-|x|+1=

x2+x+1，x＜0 x2-x+1，x≥0

，
作圖如下
                               
單調(diào)減區(qū)間：（-∞，-

1

2

]，[0，

1

2

]，單調(diào)增區(qū)間：[-

1

2

，0]，[

1

2

，+∞），
（II）當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）=ax²-x+2a-1．
若a=0，則f（x）=-x-1在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=-3．
若a＞0，則f（x）=a（x-

1

2a

）²+2a-

1

4a

-1，f（x）圖象的對稱軸是直線x=

1

2a

．
當(dāng)0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

時，f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
g（a）=f（1）=3a-2．
當(dāng)1≤

1

2a

≤2，即

1

4

≤a≤

1

2

時，g（a）=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1．
當(dāng)

1

2a

＞2，即0＜a＜

1

4

時，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
g（a）=f（2）=6a-3．
綜上可得g（a）=

6a-3，0≤a＜ 1 4 2a- 1 4a -1， 1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2，a＞ 1 2

．
（III）當(dāng)x∈[1，2]時，h（x）=ax+

2a-1

x

-1，在區(qū)間[1，2]上任取x₁、x₂，且x₁＜x₂，
則h（x₂）-h（x₁）=(ax2+

2a-1

x2

-1)-(ax1+

2a-1

x1

-1)=（x₂-x₁）(a-

2a-1

x1x2

)
=（x₂-x₁）

ax1x2-(2a-1)

x1x2

．…（11分）
因為h（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
所以h（x₂）-h（x₁）＞0．
因為x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以ax₁x₂-（2a-1）＞0，
即ax₁x₂＞2a-1．
當(dāng)a=0時，上面的不等式變?yōu)?＞-1，即a=0時結(jié)論成立．
當(dāng)a＞0時，x₁x₂＞

2a-1

a

，由1＜x₁x₂＜4，得

2a-1

a

≤1，解得0＜a≤1．
當(dāng)a＜0時，x₁x₂＜

2a-1

a

，由1＜x₁x₂＜4，得

2a-1

a

≥4，解得-

1

2

≤a＜0．
所以實數(shù)a的取值范圍為[-

1

2

，1]．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．