平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,已知兩點M(1,-3)、N(5,1),若點C滿足
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R),點C的軌跡與拋物線:y2=4x交于A、B兩點.
(Ⅰ)求證:
OA
OB
;
(Ⅱ)在x軸上是否存在一點P(m,0)(m∈R),使得過P點的直線交拋物線于D、E兩點,并以該弦DE為直徑的圓都過原點.若存在,請求出m的值及圓心的軌跡方程;若不存在,請說明理由.
(Ⅰ)由
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R),知點C的軌跡是M、N兩點所在的直線,
故點C的軌跡方程是:即y=x-4.
由得x2-12x+16=0.
∴x1x2=16,x1+x2=12
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16
∴x1x2+y1y2=0   故
OA
OB

(Ⅱ)由題意知:弦所在的直線的斜率不為零.故設(shè)弦所在的直線方程為:x=ky+m,
代入 y2=4x 得 y2-4ky-4m=0,∴y1+y2=4k,y1y2=-4m.
若以弦DE為直徑的圓都過原點,則OD⊥OE,∴x1x2+y1y2=0.
y21
4
+
y22
4
+y1y2
=m2-4m,解得m=0 (不合題意,舍去)或 m=4.
∴存在點P(4,0),使得過P點任作拋物線的一條弦,以該弦為直徑的圓都過原點.
設(shè)弦AB的中點為M(x,y)  則x=(x1+x2),y=( y1+y2),
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=4k2+8,
∴弦AB的中點M的軌跡方程為:
消去k得:y2=2x-8.
∴圓心的軌跡方程為y2=2x-8.
練習(xí)冊系列答案
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平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,已知兩點A(3,1)、B(-1,3),若點C滿足
OC
OA
OB
,其中α、β∈R,且α+β=1,則點C的軌跡方程為( 。
A、3x+2y-11=0
B、(x-1)2+(y-2)2=5
C、2x-y=0
D、x+2y-5=0

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精英家教網(wǎng)已知水平地面上有一籃球,在斜平行光線的照射下,其陰影為一橢圓(如圖),在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點,設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),籃球與地面的接觸點為H,則|OH|=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,O(0,0),P(6,8),將向量
OP
按逆時針旋轉(zhuǎn)
π
4
后,得向量
OQ
則點Q的坐標(biāo)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,給定兩點A(1,0)、B(0,-2),點C滿足   
OC
OA
OB
,其中α
、β∈R,且α-2β=1
(1)求點C的軌跡方程;
(2)設(shè)點C的軌跡與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
交于兩點M、N,且以MN為直徑的圓過原點,求證:
1
a2
+
1
b2
為定值
;
(3)在(2)的條件下,若橢圓的離心率不大于
2
2
,求橢圓長軸長的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•海淀區(qū)二模)平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,已知兩定點A(1,0)、B(0,-1),動點P(x,y)滿足:
OP
=m
OA
+(m-1)
OB
(m∈R)

(1)求點P的軌跡方程;
(2)設(shè)點P的軌跡與雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
交于相異兩點M、N.若以MN為直徑的圓經(jīng)過原點,且雙曲線C的離心率等于
3
,求雙曲線C的方程.

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