Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2-a_n，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{S_n}的前項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2-a_n，知當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2-a₁，解得a₁=1．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2-a_n）-（2-a_n-1）=a_n-1-a_n，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）S_n=2-a_n=2-(

1

2

)n-1，記{S_n}的前項(xiàng)和Tn=2-(

1

2

)0+2-(

1

2

)1+…+2-(

1

2

)n-1，由此能求出其結(jié)果．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2-a_n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2-a₁，
解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2-a_n）-（2-a_n-1）=a_n-1-a_n，
∴2a_n=a_n-1，a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為

1

2

，
∴an=(

1

2

)n-1．
（2）S_n=2-a_n=2-(

1

2

)n-1，
記{S_n}的前項(xiàng)和為T_n，
則Tn=2-(

1

2

)0+2-(

1

2

)1+…+2-(

1

2

)n-1
=2n-

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2n-2+

1

2 n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．