Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-2x-t（t為常數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)，g（x）=$\frac{{x}^{2}+t}{x-1}$．
（Ⅰ）求g（x）的值域（用t表示）；
（Ⅱ）當(dāng)t變化時(shí)，平行于x軸的一條直線與y=|f（x）|的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，該直線與y=g（x）的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值集合為M，求M．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出t的范圍，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出g（x）的值域即可；
（Ⅱ）求出t=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x-2}$，得到$\frac{{x}^{2}-x+1}{x-2}$＞-1，解不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x²-2x-t（t為常數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴△=4（1+t）＞0，解得：t＞-1，
g（x）=$\frac{{x}^{2}+t}{x-1}$=（x-1）+$\frac{t+1}{x-1}$+2，
∵|（x-1）+$\frac{t+1}{x-1}$|=|x-1|+$\frac{t+1}{|x-1|}$≥2$\sqrt{t+1}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1±$\sqrt{t+1}$時(shí)取“=”，
∴（x-1）+$\frac{t+1}{x-1}$≤-2$\sqrt{t+1}$或（x-1）+$\frac{t+1}{x-1}$≥2$\sqrt{t+1}$，
∴g（x）≤2-2$\sqrt{t+1}$或g（x）≥2+2$\sqrt{t+1}$，
即g（x）的值域是（-∞，2-2$\sqrt{t+1}$]∪[2-2$\sqrt{t+1}$，+∞）；
（Ⅱ）當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取最小值-t-1，
由|f（x）|的圖象得，平行x軸的直線y=x+1與函數(shù)y=|f（x）|的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，
由$\frac{{x}^{2}+t}{x-1}$=t+1得，（x-2）t=x²-x+1，顯然x≠2，
∴t=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x-2}$，
由于t＞-1，
∴$\frac{{x}^{2}-x+1}{x-2}$＞-1，即$\frac{（x+1）（x-1）}{x-2}$＞0，
解得：-1＜x＜1或x＞2，
∴M=（-1，1）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．