Question

若圓x²+y²=r²（r＞0）上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線x-y-2=0的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：到已知直線的距離為1的點(diǎn)的軌跡，是與已知直線平行且到它的距離等于1的兩條直線，根據(jù)題意可得這兩條平行線與x²+y²=r²有2個(gè)公共點(diǎn)，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，可得r的取值范圍．

解答： 解：作出到直線x-y-2=0的距離為1的點(diǎn)的軌跡，得到與直線x-y-2=0平行，且到直線x-y-2=0的距離等于1的兩條直線，
∵圓x²+y²=r²的圓心為原點(diǎn)，
原點(diǎn)到直線x-y-2=0的距離為d=

|-2|

2

=

2

，
∴兩條平行線中與圓心O距離分別為：

2

-1，

2

+1，
如圖，當(dāng)

2

-1＜r＜

2

+1時(shí)，圓x²+y²=r²與離圓心較近的直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
即有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線x-y-2=0的距離為1．
故答案為：(

2

-1，

2

+1)．

點(diǎn)評(píng)：本題給出已知圓上有四點(diǎn)到直線的距離等于半徑，求參數(shù)的取值范圍．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．